Fondamenti della meccanica atomica
Una radiazione non monocromatica sarà rappresentata da una somma di termini del tipo (55) (con diverse λ e quindi diverse k e v) ognuna
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anzichè con una somma, e cioè sarà
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coll'allontanarsi da esso: quindi A(k) sarà rilevante solo per i valori di k prossimi a k0 e per essi il secondo termine sarà trascurabile rispetto al
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quindi l'impulso posseduto dalla particella dopo la diffusione sarà dato da
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sarà
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autofunzioni dell'equazione di Schrödinger (131') (che formano come si sa, un sistema ortogonale completo): sarà cioè
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'). Queste varie componenti, come si è detto, si sovrappongono sempre senza alterarsi reciprocamente, e quindi la al tempo generico t sarà data da
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serie sarà sostituita da un integrale, cioè
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densità media delle particelle sarà . Perciò in un qualsiasi spazio chiuso S ve ne saranno in media
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La u sarà data dunque da
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L'equazione di Schrödinger sarà, nella regione I, ancora la (148), mentre nella regione II avrà la stessa forma salvo che in luogo di k vi figurerà
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L'equazione di Schrödinger sarà ancora la (148), ma con la condizione che fuori del segmento AB la si annulli (essendo per ipotesi nulla la
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(1) La trattazione più rigorosa, che tien conto del movimento del nucleo, sarà fatta nella parte III, § 21.
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e poichè il semiasse maggiore è evidentemente dato da , sarà
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schermo. Se p. es. si tratta di un atomo neutro, sarà e quindi la carica efficace sarà e: se si tratta di un atomo ionizzato z volte, sarà e quindi la
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Difatti consideriamo per un momento X come funzione della sola coordinata e teniamo costanti le altre coordinate: la X sarà allora una funzione
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Ora introduciamo un sistema di assi x', ruotanti in modo da accompagnare il moto di precessione: rispetto a questi il moto sarà periodico e quindi
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monodroma entro un certo campo S (eventualmente infinito): lo spazio funzionale avrà in questo caso dimensioni, ed ogni suo asse sarà denominato mediante
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cosicchè basta saper applicare l'o. l. ai versori fondamentali per saperlo applicare ad una f qualunque. Ora, il vettore sarà individuato dalle sue
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Sarà, per la (8)
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Difatti, il passaggio dalle f' alle f'' sarà espresso dalla formula, analoga alla (35),
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L'elemento sarà dato dalla formula, corrispondente alla (23),
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un'autofunzione di , la cui espressione generale sarà dunque
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e denotiamo con l' o. l. . Sarà
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e applichiamo ai due membri l'operatore , dove è un o. l. funzione qualunque di : sarà, ricordando il teorema del § 10,
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Vale a dire, la matrice sarà
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L'elemento generico della matrice sarà, conformemente alla (23),
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dove Pk sarà ottenuta dalla P integrandola rispetto a tutte le coordinate, tranne xk, yk, zk, e per tutti i valori che quelle coordinate possono
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definito da sarà
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sarà fatta fondandosi sull'analogia rilevata al § 19. Partiamo perciò dall'espressione classica dell'hamiltoniana di un sistema di N particelle in
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dove U è l'energia potenziale, che, dipendendo solo dalla posizione relativa, sarà funzione di
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risultati ottenuti misurando G in tutti i sistemi dell'insieme sarà
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calcolerà per ciascuno di essi il valore medio mediante la (115), e il valore medio richiesto sarà
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(1) Non sarà inutile riassumere lo schema di questo calcolo, che risulta dai §§ precedenti. Siano le osservabili misurate al tempo 0 (costituenti
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che si riferiscono al problema imperturbato): allora l'equazione di Schrödinger per lo stato stazionario i-esimo del sistema imperturbato sarà
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derivano da un potenziale u(q), sarà (ricordando che
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Poichè le L sono, al pari delle a, piccole del primo ordine, la seconda sommatoria sarà, in prima approssimazione, trascurabile, e resterà
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Nel caso attuale, essendo la matrice quasi diagonale, la matrice di trasformazione che la rende diagonale sarà poco diversa dalla matrice unità
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una direzione qualsiasi n, di coseni , sarà rappresentata dall'operatore
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come si verifica subito, applicando la regola del prodotto di due matrici. Conseguentemente, la densità elettrica media sarà data da
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Sarà allora (trascurando gli infinitesimi di ordine superiore)
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Questa equazione sarà soddisfatta se la matrice S è tale che sia
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Le costanti e restano arbitrarie, e le prenderemo uguali rispettivamente a 1 e a , cosicchè sarà:
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cinetica ordinaria o «forza viva» T: si ha . L' energia totale sarà poi indicata, al solito, con W. Nel caso del § 54 si era assunto U = 0 e perciò .
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Sarà, quindi simmetrico anche l'operatore corrispondente a una generica osservabile F. In particolare, sarà simmetrica l'espressione dell'energia, e
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dei numeri 1, 2,... N. La soluzione generale sarà una combinazione lineare di tutte quelle così ottenute. Di queste combinazioni ve ne è una
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mutua si riduce alla repulsione elettrostatica, sarà , dove
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esprime in cm-1 (e da noi sarà indicata al solito con v^) la (23) diviene
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Se poi C contiene linearmente un parametro λ, come nella (8), sarà così anche di R, e l'equazione (12) avrà la forma
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Quest'ultima sarà soddisfatta anche da , complessa coniugata di ym(essendo i coefficienti reali), cioè sarà
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Accademia della crusca
